Algèbre Exemples

${(6 - 7 i)}^{- 1}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{6 - 7 i}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{6 - 7 i}$ par le conjugué de $6 - 7 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{6 - 7 i} \cdot \frac{6 + 7 i}{6 + 7 i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{1 (6 + 7 i)}{(6 - 7 i) (6 + 7 i)}$

Étape 3.2

Multipliez $6 + 7 i$ par $1$ .

$\frac{6 + 7 i}{(6 - 7 i) (6 + 7 i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(6 - 7 i) (6 + 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 7 i}{6 (6 + 7 i) - 7 i (6 + 7 i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 7 i}{6 \cdot 6 + 6 (7 i) - 7 i (6 + 7 i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 + 7 i}{6 \cdot 6 + 6 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 6 (7 i) - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $7$ par $6$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 42 i - 7 i \cdot 6 - 7 i (7 i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $6$ par $- 7$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 42 i - 42 i - 7 i (7 i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $7$ par $- 7$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 42 i - 42 i - 49 i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 42 i - 42 i - 49 (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 42 i - 42 i - 49 (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 7 i}{36 + 42 i - 42 i - 49 i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 42 i - 42 i - 49 i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Soustrayez $42 i$ de $42 i$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 0 - 49 i^{2}}$

Étape 3.3.2.10

Additionnez $36$ et $0$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 - 49 i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 - 49 \cdot - 1}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $- 49$ par $- 1$ .

$\frac{6 + 7 i}{36 + 49}$

Étape 3.3.4

Additionnez $36$ et $49$ .

$\frac{6 + 7 i}{85}$

Étape 4

Divisez la fraction $\frac{6 + 7 i}{85}$ en deux fractions.

$\frac{6}{85} + \frac{7 i}{85}$