Algèbre Exemples

$x \geq \frac{2}{x + 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{2}{x + 1}$ des deux côtés de l’inégalité.

$x - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

Étape 2

Simplifiez $x - \frac{2}{x + 1}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} - \frac{2}{x + 1} \geq 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (x + 1) - 2}{x + 1} \geq 0$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 2}{x + 1} \geq 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x + 1} \geq 0$

Étape 2.3.4

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 2.3.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1} \geq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 2, - 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$- 4 \geq \frac{2}{(- 4) + 1}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 4$ est inférieur au côté droit $- 0.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 1.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 1.5$ dans l’inégalité d’origine.

$- 1.5 \geq \frac{2}{(- 1.5) + 1}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 1.5$ est supérieur au côté droit $- 4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$0 \geq \frac{2}{(0) + 1}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$4 \geq \frac{2}{(4) + 1}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0.4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 2$ Faux

$- 2 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 2 \leq x < - 1$ ou $x \geq 1$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 2 \leq x < - 1 or x \geq 1$

Notation d’intervalle :

$[- 2, - 1) \cup [1, \infty)$

Étape 14