Algèbre Exemples

$\frac{2}{x + 1} \leq \frac{3}{x - 1}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{3}{x - 1}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{2}{x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{3}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{3}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} \leq 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (x - 1) - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.5.5

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{- x - 2 - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{- x - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.7

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{- (x) - 1 (5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9

Réécrivez $- (x + 5)$ comme $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{- 1 (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 5$

$x = - 1$

$x = 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = - 5, - 1, 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.2.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 9.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(- 8) + 1} \leq \frac{3}{(- 8) - 1}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{285714}$ est supérieur au côté droit $- 0.\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(- 3) + 1} \leq \frac{3}{(- 3) - 1}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $- 0.75$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(0) + 1} \leq \frac{3}{(0) - 1}$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $- 3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{3}{(4) - 1}$

Étape 11.4.3

Le côté gauche $0.4$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$x > 1$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 \leq x < - 1$ ou $x > 1$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 5 \leq x < - 1 or x > 1$

Notation d’intervalle :

$[- 5, - 1) \cup (1, \infty)$

Étape 14