Algèbre Exemples

$\sin (x) \leq \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x \leq \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x \leq \frac{π}{6}$

Étape 3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 4

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2) \leq \frac{1}{2}$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ est supérieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) \leq \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 0.95892427$ est inférieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (8) \leq \frac{1}{2}$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $0.98935824$ est supérieur au côté droit $0.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Faux

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Vrai

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Faux

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Faux

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Vrai

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{5 π}{6} + 2 π n \leq x \leq \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10