Algèbre Exemples

$\ln (\frac{P_{2}}{P_{1}}) = - \frac{H}{R} \cdot (\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}})$

Étape 1

Pour résoudre $P_{1}$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{P_{2}}{P_{1}})} = e^{- \frac{H}{R} \cdot (\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}})}$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\frac{P_{2}}{P_{1}}) = - \frac{H}{R} \cdot (\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}})$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{H}{R} \cdot (\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}})} = \frac{P_{2}}{P_{1}}$

Étape 3

Résolvez $P_{1}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{R} \cdot (\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}})}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{R} \cdot (\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}})}$

Étape 3.2

Simplifiez $e^{- \frac{H}{R} \cdot (\frac{1}{T_{2}} - \frac{1}{T_{1}})}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{R} \cdot \frac{1}{T_{2}} - \frac{H}{R} (- \frac{1}{T_{1}})}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\frac{1}{T_{2}}$ par $\frac{H}{R}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{T_{2} R} - \frac{H}{R} (- \frac{1}{T_{1}})}$

Étape 3.2.3

Multipliez $- \frac{H}{R} (- \frac{1}{T_{1}})$ .

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{T_{2} R} + 1 \frac{H}{R} \frac{1}{T_{1}}}$

Étape 3.2.3.2

Multipliez $\frac{H}{R}$ par $1$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{T_{2} R} + \frac{H}{R} \cdot \frac{1}{T_{1}}}$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $\frac{H}{R}$ par $\frac{1}{T_{1}}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{T_{2} R} + \frac{H}{R T_{1}}}$

Étape 3.3

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Pour écrire $- \frac{H}{T_{2} R}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{T_{1}}{T_{1}}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{T_{2} R} \cdot \frac{T_{1}}{T_{1}} + \frac{H}{R T_{1}}}$

Étape 3.3.2

Pour écrire $\frac{H}{R T_{1}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{T_{2}}{T_{2}}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H}{T_{2} R} \cdot \frac{T_{1}}{T_{1}} + \frac{H}{R T_{1}} \cdot \frac{T_{2}}{T_{2}}}$

Étape 3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $T_{2} R T_{1}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $\frac{H}{T_{2} R}$ par $\frac{T_{1}}{T_{1}}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H T_{1}}{T_{2} R T_{1}} + \frac{H}{R T_{1}} \cdot \frac{T_{2}}{T_{2}}}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $\frac{H}{R T_{1}}$ par $\frac{T_{2}}{T_{2}}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H T_{1}}{T_{2} R T_{1}} + \frac{H T_{2}}{R T_{1} T_{2}}}$

Étape 3.3.3.3

Réorganisez les facteurs de $T_{2} R T_{1}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H T_{1}}{T_{2} T_{1} R} + \frac{H T_{2}}{R T_{1} T_{2}}}$

Étape 3.3.3.4

Réorganisez les facteurs de $R T_{1} T_{2}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{- \frac{H T_{1}}{T_{2} T_{1} R} + \frac{H T_{2}}{T_{2} T_{1} R}}$

Étape 3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{\frac{- H T_{1} + H T_{2}}{T_{2} T_{1} R}}$

Étape 3.3.5

Factorisez $H$ à partir de $- H T_{1} + H T_{2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez $H$ à partir de $- H T_{1}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{\frac{H (- T_{1}) + H T_{2}}{T_{2} T_{1} R}}$

Étape 3.3.5.2

Factorisez $H$ à partir de $H T_{2}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{\frac{H (- T_{1}) + H (T_{2})}{T_{2} (T_{1}) R}}$

Étape 3.3.5.3

Factorisez $H$ à partir de $H (- T_{1}) + H (T_{2})$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}$

Étape 3.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$P_{1}, 1$

Étape 3.4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$P_{1}$

Étape 3.5

Multiplier chaque terme dans $\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}$ par $P_{1}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{P_{2}}{P_{1}} = e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}$ par $P_{1}$ .

$\frac{P_{2}}{P_{1}} P_{1} = e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} P_{1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $P_{1}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{P_{2}}{P_{1}} P_{1} = e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} P_{1}$

Étape 3.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$P_{2} = e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} P_{1}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} P_{1}$ .

$P_{2} = P_{1} e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}$

Étape 3.6

Résolvez l’équation.

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $P_{1} e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} = P_{2}$ .

$P_{1} e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} = P_{2}$

Étape 3.6.2

Divisez chaque terme dans $P_{1} e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} = P_{2}$ par $e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.1

Divisez chaque terme dans $P_{1} e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}} = P_{2}$ par $e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}$ .

$\frac{P_{1} e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}}{e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}} = \frac{P_{2}}{e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}}$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}$ .

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Étape 3.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{P_{1} e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}}{e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}} = \frac{P_{2}}{e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}}$

Étape 3.6.2.2.1.2

Divisez $P_{1}$ par $1$ .

$P_{1} = \frac{P_{2}}{e^{\frac{H (- T_{1} + T_{2})}{T_{2} T_{1} R}}}$