Algèbre Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4 = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{3} + x^{2}) - 8 x - 4 = 0$

Étape 1.2.2.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(2 x + 1) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez.

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Étape 1.2.2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(2 x + 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.2.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 1.2.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.2.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, - 2, 2$

Étape 1.2.3

Excluez les solutions qui ne rendent pas $0 = \frac{2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$ vrai.

$x = - \frac{1}{2}, - 2$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = \frac{2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 \cdot 0^{3} + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5

Simplifiez $\frac{2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0^{2} - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 8 \cdot 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.1.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.1.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{0 - 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.1.7

Soustrayez $4$ de $0$ .

$y = \frac{- 4}{0^{2} - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.5.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \frac{- 4}{0 - 3 \cdot 0 + 2}$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$y = \frac{- 4}{0 + 0 + 2}$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = \frac{- 4}{0 + 2}$

Étape 2.2.5.2.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$y = \frac{- 4}{2}$

Étape 2.2.5.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$y = - 2$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- \frac{1}{2}, 0), (- 2, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 2)$

Étape 4