Algèbre Exemples

$y = - \sqrt{x + 3}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - \sqrt{y + 3}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \sqrt{y + 3} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{y + 3} = x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{y + 3} = x$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 3}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sqrt{y + 3}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $\sqrt{y + 3}$ par $1$ .

$\sqrt{y + 3} = \frac{x}{- 1}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 3} = - 1 \cdot x$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$\sqrt{y + 3} = - x$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 3}$ comme ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 3)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 3 = {(- x)}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(- x)}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$y + 3 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Étape 2.4.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y + 3 = 1 x^{2}$

Étape 2.4.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y + 3 = x^{2}$

Étape 2.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 3$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$ est l’inverse de $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \sqrt{x + 3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(- \sqrt{x + 3})}^{2} - 3$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Étape 4.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = 1 {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Étape 4.2.3.3

Multipliez ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {\sqrt{x + 3}}^{2} - 3$

Étape 4.2.3.4

Réécrivez ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ comme $x + 3$ .

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Étape 4.2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3$

Étape 4.2.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3$

Étape 4.2.3.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 3$

Étape 4.2.3.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} - 3$

Étape 4.2.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = (x + 3) - 3$

Étape 4.2.3.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 3}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{(x^{2} - 3) + 3}$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 4.3.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (x^{2} - 3) = - \sqrt{x^{2}}$

Étape 4.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} - 3) = - x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$ est l’inverse de $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$