Algèbre Exemples

$\frac{5 x - 1}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{3}{2 x - 4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)} + \frac{3}{2 x - 4}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)} + \frac{3}{2 (x) - 4}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)} + \frac{3}{2 x + 2 \cdot - 2}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)} + \frac{3}{2 (x - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2 (x - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{3}{2 (x - 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2 (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x - 1) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{5 x - 1}{(x - 2) (x - 1)}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(5 x - 1) \cdot 2}{(x - 2) (x - 1) \cdot 2} + \frac{3}{2 (x - 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{2 (x - 2)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(5 x - 1) \cdot 2}{(x - 2) (x - 1) \cdot 2} + \frac{3 (x - 1)}{2 (x - 2) (x - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x - 1) \cdot 2$ .

$\frac{(5 x - 1) \cdot 2}{2 (x - 1) (x - 2)} + \frac{3 (x - 1)}{2 (x - 2) (x - 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $2 (x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{(5 x - 1) \cdot 2}{2 (x - 1) (x - 2)} + \frac{3 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(5 x - 1) \cdot 2 + 3 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + 3 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{10 x - 1 \cdot 2 + 3 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{10 x - 2 + 3 (x - 1)}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x - 2 + 3 x + 3 \cdot - 1}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{10 x - 2 + 3 x - 3}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.6

Additionnez $10 x$ et $3 x$ .

$\frac{13 x - 2 - 3}{2 (x - 1) (x - 2)}$

Étape 6.7

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{13 x - 5}{2 (x - 1) (x - 2)}$