Algèbre Exemples

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (8) + \frac{1}{2} \log_{b} (9) - \log_{b} (6)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $\log_{b} (8)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{1}{2} \log_{b} (9) - \log_{b} (6)$

Étape 1.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\log_{b} (9)$ .

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (6)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (6)$ par $6$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} + \frac{\log_{b} (9)}{2} - \log_{b} (6)$ par $6$ .

$\log_{b} (x) \cdot 6 = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Déplacez $6$ à gauche de $\log_{b} (x)$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot 6 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 (2)) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 \log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 \log_{b} (x) = 2 \log_{b} (8) \cdot 2 + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot 6 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 (3)) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \frac{\log_{b} (9)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + \log_{b} (9) \cdot 3 - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.4

Déplacez $3$ à gauche de $\log_{b} (9)$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + 3 \cdot \log_{b} (9) - \log_{b} (6) \cdot 6$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$6 \log_{b} (x) = 4 \log_{b} (8) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $6 \log_{b} (x)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = 4 \log_{b} (8) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Simplifiez $4 \log_{b} (8) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Simplifiez $4 \log_{b} (8)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (8^{4}) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Étape 4.1.1.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + 3 \log_{b} (9) - 6 \log_{b} (6)$

Étape 4.1.1.3

Simplifiez $3 \log_{b} (9)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (9^{3}) - 6 \log_{b} (6)$

Étape 4.1.1.4

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (729) - 6 \log_{b} (6)$

Étape 4.1.1.5

Simplifiez $- 6 \log_{b} (6)$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (729) - \log_{b} (6^{6})$

Étape 4.1.1.6

Élevez $6$ à la puissance $6$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096) + \log_{b} (729) - \log_{b} (46656)$

Étape 4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (4096 \cdot 729) - \log_{b} (46656)$

Étape 4.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{4096 \cdot 729}{46656})$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun à $4096$ et $46656$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $4096 \cdot 729$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (64 \cdot 729)}{46656})$

Étape 4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.4.2.1

Factorisez $64$ à partir de $46656$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (64 \cdot 729)}{64 (729)})$

Étape 4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 (64 \cdot 729)}{64 \cdot 729})$

Étape 4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 729}{729})$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $729$ .

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Étape 4.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (\frac{64 \cdot 729}{729})$

Étape 4.1.5.2

Divisez $64$ par $1$ .

$\log_{b} (x^{6}) = \log_{b} (64)$

Étape 5

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{6} = 64$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[6]{64}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt[6]{64}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $64$ comme $2^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$