Algèbre Exemples

${(x + 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 65$ $- 2 x + y = - 4$

Étape 1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 4 + 2 x$

${(x + 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 65$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 4 + 2 x$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans ${(x + 3)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 65$ par $- 4 + 2 x$ .

${(x + 3)}^{2} + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${(x + 3)}^{2} + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x^{2} + 6 x + 9 + {((- 4 + 2 x) - 5)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + {(2 x - 9)}^{2} = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.5

Réécrivez ${(2 x - 9)}^{2}$ comme $(2 x - 9) (2 x - 9)$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + (2 x - 9) (2 x - 9) = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.6

Développez $(2 x - 9) (2 x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 x (2 x - 9) - 9 (2 x - 9) = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x - 9) = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.7.1.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x^{2} + 6 x + 9 + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 9 - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7.1.4

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} - 18 x - 9 (2 x) - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7.1.5

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} - 18 x - 18 x - 9 \cdot - 9 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7.1.6

Multipliez $- 9$ par $- 9$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} - 18 x - 18 x + 81 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} - 18 x - 18 x + 81 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.1.7.2

Soustrayez $18 x$ de $- 18 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} - 36 x + 81 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} - 36 x + 81 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$x^{2} + 6 x + 9 + 4 x^{2} - 36 x + 81 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.2.1

Additionnez $x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$5 x^{2} + 6 x + 9 - 36 x + 81 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.2.2

Soustrayez $36 x$ de $6 x$ .

$5 x^{2} - 30 x + 9 + 81 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez $9$ et $81$ .

$5 x^{2} - 30 x + 90 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$5 x^{2} - 30 x + 90 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$5 x^{2} - 30 x + 90 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$5 x^{2} - 30 x + 90 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

$5 x^{2} - 30 x + 90 = 65$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3

Résolvez $x$ dans $5 x^{2} - 30 x + 90 = 65$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $65$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} - 30 x + 90 - 65 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.2

Soustrayez $65$ de $90$ .

$5 x^{2} - 30 x + 25 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} - 30 x + 25$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$5 (x^{2}) - 30 x + 25 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 30 x$ .

$5 (x^{2}) + 5 (- 6 x) + 25 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$5 x^{2} + 5 (- 6 x) + 5 \cdot 5 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3.1.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 5 (- 6 x)$ .

$5 (x^{2} - 6 x) + 5 \cdot 5 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3.1.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} - 6 x) + 5 \cdot 5$ .

$5 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

$y = - 4 + 2 x$

$5 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3.2

Factorisez.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$5 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

$y = - 4 + 2 x$

$5 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$5 (x - 5) (x - 1) = 0$

$y = - 4 + 2 x$

$5 (x - 5) (x - 1) = 0$

$y = - 4 + 2 x$

$5 (x - 5) (x - 1) = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

$y = - 4 + 2 x$

$x = 5$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.6

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

$y = - 4 + 2 x$

$x = 1$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $5 (x - 5) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, 1$

$y = - 4 + 2 x$

$x = 5, 1$

$y = - 4 + 2 x$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $5$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - 4 + 2 x$ par $5$ .

$y = - 4 + 2 (5)$

$x = 5$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 4 + 2 (5)$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = - 4 + 10$

$x = 5$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$y = 6$

$x = 5$

$y = 6$

$x = 5$

$y = 6$

$x = 5$

$y = 6$

$x = 5$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $1$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $y = - 4 + 2 x$ par $1$ .

$y = - 4 + 2 (1)$

$x = 1$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- 4 + 2 (1)$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = - 4 + 2$

$x = 1$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

$y = - 2$

$x = 1$

Étape 6

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(5, 6)$

$(1, - 2)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(5, 6), (1, - 2)$

Forme de l’équation :

$x = 5, y = 6$

$x = 1, y = - 2$

Étape 8