Algèbre Exemples

$\frac{1}{x - 2} - \frac{5}{x + 7} = \frac{9}{x^{2} + 5 x - 14}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{9}{x^{2} + 5 x - 14}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{5}{x + 7} - \frac{9}{x^{2} + 5 x - 14} = 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{x - 2} - \frac{5}{x + 7} - \frac{9}{x^{2} + 5 x - 14}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2} + 5 x - 14$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 14$ et dont la somme est $5$ .

$- 2, 7$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{x - 2} - \frac{5}{x + 7} - \frac{9}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 7}{x + 7} - \frac{5}{x + 7} - \frac{9}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

Étape 2.3

Pour écrire $- \frac{5}{x + 7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 7}{x + 7} - \frac{5}{x + 7} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{9}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 2) (x + 7)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{x - 2}$ par $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{x + 7}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{5}{x + 7} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{9}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{5}{x + 7}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 7}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{5 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)} - \frac{9}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 2) (x + 7)$ .

$\frac{x + 7}{(x + 7) (x - 2)} - \frac{5 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)} - \frac{9}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 7 - 5 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)} - \frac{9}{(x - 2) (x + 7)} = 0$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + 7 - 5 (x - 2) - 9}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 7 - 5 x - 5 \cdot - 2 - 9}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.7.2

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$\frac{x + 7 - 5 x + 10 - 9}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.8

Soustrayez $5 x$ de $x$ .

$\frac{- 4 x + 7 + 10 - 9}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.9

Additionnez $7$ et $10$ .

$\frac{- 4 x + 17 - 9}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.10

Soustrayez $9$ de $17$ .

$\frac{- 4 x + 8}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.11

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x + 8$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 8}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.11.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (2)}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.11.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$\frac{4 (- x + 2)}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun à $- x + 2$ et $x - 2$ .

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Étape 2.12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 2)}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12.2

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 2))}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (x - 2))}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12.4

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 2))}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 1 (x - 2))}{(x + 7) (x - 2)} = 0$

Étape 2.12.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x + 7} = 0$

Étape 2.13

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{x + 7} = 0$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x + 7} = 0$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x + 7}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 7 = 0$

Étape 4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 5