Algèbre Exemples

$y = - 2 \sqrt{x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 2 \sqrt{y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 \sqrt{y} = x$ .

$- 2 \sqrt{y} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \sqrt{y} = x$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sqrt{y} = x$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{y}}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sqrt{y}}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{y}$ par $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{- 2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{y} = - \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(- \frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(- \frac{x}{2})}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{x}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.4.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.4.3.1.3

Multipliez $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.4.3.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 2 \sqrt{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{{(- 2 \sqrt{x})}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{{(- 2)}^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 4.2.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.2.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.2.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.2.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.2.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.3.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = \frac{4 x}{4}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \sqrt{x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 2 \frac{x}{2}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = 2 (- 1) (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = 2 \cdot (- 1 \frac{x}{2})$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - 1 x$

Étape 4.3.8

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (\frac{x^{2}}{4}) = - x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4}$