Algèbre Exemples

$\frac{(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2})}{2 (x + y)} = 0$

Étape 1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 0$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 0$

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Définissez $x^{2} + 2 x y + y^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Résolvez $x^{2} + 2 x y + y^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2 y$ et $c = y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 y$ et $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{(2 y + 2 \cdot (1 y)) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.3

Simplifiez

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Étape 2.2.2.3.1.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y + 2 \cdot 1 y$ .

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Étape 2.2.2.3.1.3.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{(2 y (1) + 2 \cdot (1 y)) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.3.1.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{(2 y (1) + 2 y (1)) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.3.1.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2 y (1 + 1) (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (2 (2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y (2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.3.4

Associez les exposants.

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Étape 2.2.2.3.1.3.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y (2 y - (2 y))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y (2 y - 2 y)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.4

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y \cdot 0}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.5

Associez les exposants.

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Étape 2.2.2.3.1.5.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{0 y}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.5.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.6

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.1.8

$- 2 y$ plus ou moins $0$ est $- 2 y$ .

$x = \frac{- 2 y}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2}$

Étape 2.2.2.3.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.2.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2}$

Étape 2.2.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)}$

Étape 2.2.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- y}{1}$

Étape 2.2.2.3.3.2.4

Divisez $- y$ par $1$ .

$x = - y$

Étape 2.2.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - y$ Racines doubles

Étape 2.3

Définissez $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} - 2 x y + y^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 y$ et $c = y^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.3.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2 y$ et $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3

Simplifiez

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Étape 2.3.2.3.1.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

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Étape 2.3.2.3.1.3.1.1

Factorisez $2 y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.1.2

Factorisez $2 y$ à partir de $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.1.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 2.3.2.3.1.3.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.3.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.4

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

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Étape 2.3.2.3.1.3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.5

Multipliez $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 2.3.2.3.1.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.6

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.7

Associez les exposants.

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Étape 2.3.2.3.1.3.7.1

Multipliez $0$ par $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.3.7.2

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.6

$2 y$ plus ou moins $0$ est $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Étape 2.3.2.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 y}{2}$

Étape 2.3.2.3.3.2

Divisez $y$ par $1$ .

$x = y$

Étape 2.3.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = y$ Racines doubles

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 0$ vraie.

$x = - y$

$x = y$

$x = - y$

$x = y$