Algèbre Exemples

$x^{2} \leq 5 x - 6$

Étape 1

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} - 5 x \leq - 6$

Étape 2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 5 x = - 6$

Étape 3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 5 x + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x - 2) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 3, 2$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} \leq 5 (0) - 6$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $0$ est supérieur au côté droit $- 6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(2.5)}^{2} \leq 5 (2.5) - 6$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $6.25$ est inférieur au côté droit $6.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

${(6)}^{2} \leq 5 (6) - 6$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $36$ est supérieur au côté droit $24$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 3$ Vrai

$x > 3$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 \leq x \leq 3$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 \leq x \leq 3$

Notation d’intervalle :

$[2, 3]$

Étape 13