Algèbre Exemples

$5^{x - 3} = 4^{3 - x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (5^{x - 3}) = \ln (4^{3 - x})$

Étape 2

Développez $\ln (5^{x - 3})$ en déplaçant $x - 3$ hors du logarithme.

$(x - 3) \ln (5) = \ln (4^{3 - x})$

Étape 3

Développez $\ln (4^{3 - x})$ en déplaçant $3 - x$ hors du logarithme.

$(x - 3) \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Simplifiez $(x - 3) \ln (5)$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 3) \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Étape 4.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 3) \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) - 3 \ln (5) = (3 - x) \ln (4)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (5) - 3 \ln (5) = 3 \ln (4) - x \ln (4)$

Étape 4.3

Ajoutez $x \ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) - 3 \ln (5) + x \ln (4) = 3 \ln (4)$

Étape 4.4

Ajoutez $3 \ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (5) + x \ln (4) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Étape 4.5

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5) + x \ln (4)$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (5)) + x \ln (4) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Étape 4.5.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (4)$ .

$x (\ln (5)) + x (\ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Étape 4.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (5)) + x (\ln (4))$ .

$x (\ln (5) + \ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $x (\ln (5) + \ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ par $\ln (5) + \ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (5) + \ln (4)) = 3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ par $\ln (5) + \ln (4)$ .

$\frac{x (\ln (5) + \ln (4))}{\ln (5) + \ln (4)} = \frac{3 \ln (4)}{\ln (5) + \ln (4)} + \frac{3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (5) + \ln (4)$ .

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Étape 4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (5) + \ln (4))}{\ln (5) + \ln (4)} = \frac{3 \ln (4)}{\ln (5) + \ln (4)} + \frac{3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Étape 4.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 \ln (4)}{\ln (5) + \ln (4)} + \frac{3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 \ln (4) + 3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Étape 4.6.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ .

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Étape 4.6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{3 \ln (4) + 3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Étape 4.6.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (5)$ .

$x = \frac{3 \ln (4) + 3 \ln (5)}{\ln (5) + \ln (4)}$

Étape 4.6.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 \ln (4) + 3 \ln (5)$ .

$x = \frac{3 (\ln (4) + \ln (5))}{\ln (5) + \ln (4)}$

Étape 4.6.3.3

Annulez le facteur commun à $\ln (4) + \ln (5)$ et $\ln (5) + \ln (4)$ .

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Étape 4.6.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{3 (\ln (4) + \ln (5))}{\ln (4) + \ln (5)}$

Étape 4.6.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 (\ln (4) + \ln (5))}{\ln (4) + \ln (5)}$

Étape 4.6.3.3.3

Divisez $3$ par $1$ .

$x = 3$