Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} - \sqrt{7}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} - \sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} - \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + \sqrt{7}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} - \sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})}{(\sqrt{3} - \sqrt{7}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{21} - \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})}{- 4}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $\sqrt{3} + \sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + \sqrt{7})}^{1} (\sqrt{3} + \sqrt{7})}{- 4}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{3} + \sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + \sqrt{7})}^{1} {(\sqrt{3} + \sqrt{7})}^{1}}{- 4}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{3} + \sqrt{7})}^{1 + 1}}{- 4}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{3} + \sqrt{7})}^{2}}{- 4}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{3} + \sqrt{7})}^{2}$ comme $(\sqrt{3} + \sqrt{7}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})$ .

$\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{7}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})}{- 4}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{3} + \sqrt{7}) (\sqrt{3} + \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (\sqrt{3} + \sqrt{7})}{- 4}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{7} (\sqrt{3} + \sqrt{7})}{- 4}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{3} \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 + \sqrt{3 \cdot 7} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.6

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{3 + \sqrt{21} + \sqrt{7} \sqrt{3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 + \sqrt{21} + \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.8

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{7} \sqrt{7}}{- 4}$

Étape 6.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{7 \cdot 7}}{- 4}$

Étape 6.1.10

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{3 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{49}}{- 4}$

Étape 6.1.11

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + \sqrt{7^{2}}}{- 4}$

Étape 6.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 + \sqrt{21} + \sqrt{21} + 7}{- 4}$

Étape 6.2

Additionnez $3$ et $7$ .

$\frac{10 + \sqrt{21} + \sqrt{21}}{- 4}$

Étape 6.3

Additionnez $\sqrt{21}$ et $\sqrt{21}$ .

$\frac{10 + 2 \sqrt{21}}{- 4}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $10 + 2 \sqrt{21}$ et $- 4$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 2 \sqrt{21}}{- 4}$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{21}$ .

$\frac{2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})}{- 4}$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 5 + 2 (\sqrt{21})$ .

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{- 4}$

Étape 7.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 (- 2)}$

Étape 7.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot (5 + \sqrt{21})}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 + \sqrt{21}}{- 2}$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

Forme décimale :

$- 4.79128784 \dots$