Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{8}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{4 (2)}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - (2 \sqrt{2})}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4

Développez $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{5} + 2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\sqrt{25} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 + \sqrt{5} (2 \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.5

Multipliez $\sqrt{5} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 5.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + 2 \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.8

Multipliez $\sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 5.1.8.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{- 3}$

Étape 5.1.8.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{- 3}$

Étape 5.1.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 5.1.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {\sqrt{2}}^{2}}{- 3}$

Étape 5.1.9

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 3}$

Étape 5.1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 3}$

Étape 5.1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 5.1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{- 3}$

Étape 5.1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2^{1}}{- 3}$

Étape 5.1.9.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 2 \cdot 2}{- 3}$

Étape 5.1.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10} + 4}{- 3}$

Étape 5.2

Additionnez $5$ et $4$ .

$\frac{9 + 2 \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 5.3

Additionnez $2 \sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$ .

$\frac{9 + 3 \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $9 + 3 \sqrt{10}$ et $- 3$ .

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Étape 6.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 (3) + 3 \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 6.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{10}$ .

$\frac{3 (3) + 3 (\sqrt{10})}{- 3}$

Étape 6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3) + 3 (\sqrt{10})$ .

$\frac{3 (3 + \sqrt{10})}{- 3}$

Étape 6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3 + \sqrt{10}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (3 + \sqrt{10})$

Étape 7

Réécrivez $- 1 \cdot (3 + \sqrt{10})$ comme $- (3 + \sqrt{10})$ .

$- (3 + \sqrt{10})$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 3 - \sqrt{10}$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 - \sqrt{10}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 3 - \sqrt{10}$

Forme décimale :

$- 6.16227766 \dots$