Algèbre Exemples

$\frac{2 w y + 3 y x - 8 w z - 12 z x}{y^{2} - 16 z^{2}} \times \frac{y^{3} + 64 z^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 w y + 3 y x) - 8 w z - 12 z x}{y^{2} - 16 z^{2}} \cdot \frac{y^{3} + 64 z^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y (2 w + 3 x) - 4 z (2 w + 3 x)}{y^{2} - 16 z^{2}} \cdot \frac{y^{3} + 64 z^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 w + 3 x$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{y^{2} - 16 z^{2}} \cdot \frac{y^{3} + 64 z^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $16 z^{2}$ comme ${(4 z)}^{2}$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{y^{2} - {(4 z)}^{2}} \cdot \frac{y^{3} + 64 z^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 4 z$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - (4 z))} \cdot \frac{y^{3} + 64 z^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{y^{3} + 64 z^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $64 z^{3}$ comme ${(4 z)}^{3}$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{y^{3} + {(4 z)}^{3}}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 4 z$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - y (4 z) + {(4 z)}^{2})}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 1 \cdot 4 y z + {(4 z)}^{2})}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + {(4 z)}^{2})}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 3.3.3

Appliquez la règle de produit à $4 z$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 4^{2} z^{2})}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 3.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{6 w^{2} + 6 x^{2} + 13 w x}$

Étape 4.1.2

Remettez dans l’ordre $6 x^{2}$ et $13 w x$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{6 w^{2} + 13 w x + 6 x^{2}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $13$ à partir de $13 w x$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{6 w^{2} + 13 (w x) + 6 x^{2}}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $13$ comme $4$ plus $9$

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{6 w^{2} + (4 + 9) (w x) + 6 x^{2}}$

Étape 4.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{6 w^{2} + 4 (w x) + 9 (w x) + 6 x^{2}}$

Étape 4.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{6 w^{2} + 4 w x + 9 w x + 6 x^{2}}$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{(6 w^{2} + 4 w x) + 9 w x + 6 x^{2}}$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{2 w (3 w + 2 x) + 3 x (3 w + 2 x)}$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 w + 2 x$ .

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z)}{(y + 4 z) (y - 4 z)} \cdot \frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{(3 w + 2 x) (2 w + 3 x)}$

Étape 5

Associez.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z) ((y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2}))}{(y + 4 z) (y - 4 z) ((3 w + 2 x) (2 w + 3 x))}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $2 w + 3 x$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 w + 3 x) (y - 4 z) ((y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2}))}{(y + 4 z) (y - 4 z) ((3 w + 2 x) (2 w + 3 x))}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 4 z) ((y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2}))}{(y + 4 z) (y - 4 z) (3 w + 2 x)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $y - 4 z$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 4 z) ((y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2}))}{(y + 4 z) (y - 4 z) (3 w + 2 x)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{(y + 4 z) (3 w + 2 x)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $y + 4 z$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 4 z) (y^{2} - 4 y z + 16 z^{2})}{(y + 4 z) (3 w + 2 x)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} - 4 y z + 16 z^{2}}{3 w + 2 x}$