Algèbre Exemples

$3 + 2 y = \sqrt{- y}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{- y} = 3 + 2 y$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- y}}^{2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- y}$ comme ${(- y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- y)}^{1} = {(3 + 2 y)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$- y = {(3 + 2 y)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(3 + 2 y)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(3 + 2 y)}^{2}$ comme $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ .

$- y = (3 + 2 y) (3 + 2 y)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(3 + 2 y) (3 + 2 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y = 3 (3 + 2 y) + 2 y (3 + 2 y)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y = 3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y (3 + 2 y)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y = 3 \cdot 3 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- y = 9 + 3 (2 y) + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- y = 9 + 6 y + 2 y \cdot 3 + 2 y (2 y)$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 y (2 y)$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2 y \cdot y$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2 (y \cdot y)$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 2 \cdot 2 y^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- y = 9 + 6 y + 6 y + 4 y^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $6 y$ et $6 y$ .

$- y = 9 + 12 y + 4 y^{2}$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$9 + 12 y + 4 y^{2} = - y$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$9 + 12 y + 4 y^{2} + y = 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $12 y$ et $y$ .

$9 + 4 y^{2} + 13 y = 0$

Étape 4.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 y^{2} + 13 y + 9 = 0$

Étape 4.3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $13$ à partir de $13 y$ .

$4 y^{2} + 13 (y) + 9 = 0$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez $13$ comme $4$ plus $9$

$4 y^{2} + (4 + 9) y + 9 = 0$

Étape 4.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 4 y + 9 y + 9 = 0$

Étape 4.3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 y^{2} + 4 y) + 9 y + 9 = 0$

Étape 4.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 y (y + 1) + 9 (y + 1) = 0$

Étape 4.3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 1$ .

$(y + 1) (4 y + 9) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 1 = 0$

$4 y + 9 = 0$

Étape 4.5

Définissez $y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $y + 1$ égal à $0$ .

$y + 1 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 4.6

Définissez $4 y + 9$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $4 y + 9$ égal à $0$ .

$4 y + 9 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $4 y + 9 = 0$ pour $y$ .

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Étape 4.6.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$4 y = - 9$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 y = - 9$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = - 9$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 9}{4}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 9}{4}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 9}{4}$

Étape 4.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{9}{4}$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 1) (4 y + 9) = 0$ vraie.

$y = - 1, - \frac{9}{4}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $3 + 2 y = \sqrt{- y}$ vrai.

$y = - 1$