Algèbre Exemples

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 y + 4} = 3$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{- 4 y + 1}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 4$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 (y) + 4} = 3$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 y + 2 \cdot 2} = 3$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 2$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 (y + 2)} = 3$

Étape 1.2

Soustrayez $\sqrt{2 (y + 2)}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{- 4 y + 1} = 3 - \sqrt{2 (y + 2)}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- 4 y + 1}}^{2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- 4 y + 1}$ comme ${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 4 y + 1)}^{1} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$- 4 y + 1 = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$ .

$- 4 y + 1 = (3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 y + 1 = 3 (3 - \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 y + 1 = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 y + 1 = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 4 y + 1 = 9 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 1 \sqrt{2 (y + 2)} \sqrt{2 (y + 2)}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2 (y + 2)}$ par $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + \sqrt{2 (y + 2)} \sqrt{2 (y + 2)}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{2 (y + 2)}$ à la puissance $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1} \sqrt{2 (y + 2)}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{2 (y + 2)}$ à la puissance $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2}$ comme $2 (y + 2)$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (y + 2)}$ comme ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 (y + 2)$

Étape 3.3.1.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y + 2 \cdot 2$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y + 4$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $9$ et $4$ .

$- 4 y + 1 = 13 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $3 \sqrt{2 (y + 2)}$ de $- 3 \sqrt{2 (y + 2)}$ .

$- 4 y + 1 = 13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y$

Étape 4

Résolvez $- 6 \sqrt{2 (y + 2)}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1$ .

$13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 6 \sqrt{2 (y + 2)}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1 - 13$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 4 y + 1 - 13 - 2 y$

Étape 4.2.3

Soustrayez $2 y$ de $- 4 y$ .

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 6 y + 1 - 13$

Étape 4.2.4

Soustrayez $13$ de $1$ .

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 6 y - 12$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 6 \sqrt{2 (y + 2)})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (y + 2)}$ comme ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6 {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 6 {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(- 6 {(2 y + 2 \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(- 6 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $- 6 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$36 {({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4

Multipliez les exposants dans ${({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 {(2 y + 4)}^{1} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Simplifiez

$36 (2 y + 4) = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$36 (2 y) + 36 \cdot 4 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez.

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Étape 6.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $36$ .

$72 y + 36 \cdot 4 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.5.2

Multipliez $36$ par $4$ .

$72 y + 144 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(- 6 y - 12)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(- 6 y - 12)}^{2}$ comme $(- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$ .

$72 y + 144 = (- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y - 12) - 12 (- 6 y - 12)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y - 12)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 y \cdot y - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 (y \cdot y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 y^{2} - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 12$ par $- 6$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $- 6$ par $- 12$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y + 72 y - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y + 72 y + 144$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $72 y$ et $72 y$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 144 y + 144$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$36 y^{2} + 144 y + 144 = 72 y + 144$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $72 y$ des deux côtés de l’équation.

$36 y^{2} + 144 y + 144 - 72 y = 144$

Étape 7.2.2

Soustrayez $72 y$ de $144 y$ .

$36 y^{2} + 72 y + 144 = 144$

Étape 7.3

Soustrayez $144$ des deux côtés de l’équation.

$36 y^{2} + 72 y + 144 - 144 = 0$

Étape 7.4

Associez les termes opposés dans $36 y^{2} + 72 y + 144 - 144$ .

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Étape 7.4.1

Soustrayez $144$ de $144$ .

$36 y^{2} + 72 y + 0 = 0$

Étape 7.4.2

Additionnez $36 y^{2} + 72 y$ et $0$ .

$36 y^{2} + 72 y = 0$

Étape 7.5

Factorisez $36 y$ à partir de $36 y^{2} + 72 y$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $36 y$ à partir de $36 y^{2}$ .

$36 y (y) + 72 y = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $36 y$ à partir de $72 y$ .

$36 y (y) + 36 y (2) = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $36 y$ à partir de $36 y (y) + 36 y (2)$ .

$36 y (y + 2) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y = 0$

$y + 2 = 0$

Étape 7.7

Définissez $y$ égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 7.8

Définissez $y + 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $y + 2$ égal à $0$ .

$y + 2 = 0$

Étape 7.8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $36 y (y + 2) = 0$ vraie.

$y = 0, - 2$