Algèbre Exemples

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x + 1) (x + 2), x + 1, x + 2$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $x + 2$ est $x + 2$ lui-même.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le facteur pour $x + 2$ est $x + 2$ lui-même.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.9

Le plus petit multiple commun de $x + 1, x + 2, x + 1, x + 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x + 1) (x + 2)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ par $(x + 1) (x + 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ par $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} ((x + 1) (x + 2)) = \frac{A}{x + 1} ((x + 1) (x + 2)) + \frac{B}{x + 2} ((x + 1) (x + 2))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $(x + 1) (x + 2)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} ((x + 1) (x + 2)) = \frac{A}{x + 1} ((x + 1) (x + 2)) + \frac{B}{x + 2} ((x + 1) (x + 2))$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{A}{x + 1} ((x + 1) (x + 2)) + \frac{B}{x + 2} ((x + 1) (x + 2))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{A}{x + 1} ((x + 1) (x + 2)) + \frac{B}{x + 2} ((x + 1) (x + 2))$

Étape 2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = A (x + 2) + \frac{B}{x + 2} ((x + 1) (x + 2))$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{B}{x + 2} ((x + 1) (x + 2))$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{B}{x + 2} ((x + 1) (x + 2))$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 1) (x + 2)$ .

$1 = A x + 2 A + \frac{B}{x + 2} ((x + 2) (x + 1))$

Étape 2.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$1 = A x + 2 A + \frac{B}{x + 2} ((x + 2) (x + 1))$

Étape 2.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$1 = A x + 2 A + B (x + 1)$

Étape 2.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $B$ par $1$ .

$1 = A x + 2 A + B x + B$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $A x + 2 A + B x + B = 1$ .

$A x + 2 A + B x + B = 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2 A$ des deux côtés de l’équation.

$A x + B x + B = 1 - 2 A$

Étape 3.2.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A x + B x = 1 - 2 A - B$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $A x + B x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $A x$ .

$x A + B x = 1 - 2 A - B$

Étape 3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $B x$ .

$x A + x B = 1 - 2 A - B$

Étape 3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x A + x B$ .

$x (A + B) = 1 - 2 A - B$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $x (A + B) = 1 - 2 A - B$ par $A + B$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $x (A + B) = 1 - 2 A - B$ par $A + B$ .

$\frac{x (A + B)}{A + B} = \frac{1}{A + B} + \frac{- 2 A}{A + B} + \frac{- B}{A + B}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $A + B$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (A + B)}{A + B} = \frac{1}{A + B} + \frac{- 2 A}{A + B} + \frac{- B}{A + B}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{A + B} + \frac{- 2 A}{A + B} + \frac{- B}{A + B}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{1}{A + B} - \frac{2 A}{A + B} + \frac{- B}{A + B}$

Étape 3.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{1}{A + B} - \frac{2 A}{A + B} - \frac{B}{A + B}$

Étape 3.4.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 3.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{1 - 2 A}{A + B} - \frac{B}{A + B}$

Étape 3.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{1 - 2 A - B}{A + B}$