Algèbre Exemples

$\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{9}$ , $\frac{2}{27}$ , $\frac{4}{81}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{2}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{2}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = \frac{1}{6}$ et $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{6} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 5

Associez.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{6 \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 6

Multipliez $2^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{6 \cdot 3^{n - 1}}$

Étape 7

Remplacez dans la valeur de $n$ pour déterminer le $n$ ième terme.

$a_{5} = \frac{2^{(5) - 1}}{6 \cdot 3^{(5) - 1}}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{2^{4}}{6 \cdot 3^{5 - 1}}$

Étape 8.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{16}{6 \cdot 3^{5 - 1}}$

Étape 9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{16}{6 \cdot 3^{4}}$

Étape 9.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$a_{5} = \frac{16}{6 \cdot 81}$

Étape 10

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.1

Multipliez $6$ par $81$ .

$a_{5} = \frac{16}{486}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $486$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$a_{5} = \frac{2 (8)}{486}$

Étape 10.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $486$ .

$a_{5} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 243}$

Étape 10.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$a_{5} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 243}$

Étape 10.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$a_{5} = \frac{8}{243}$