Algèbre Exemples

$\cot (x) = 1$ , $π \leq x \leq \frac{3 π}{2}$

Étape 1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $arccot (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[π, \frac{3 π}{2}]$ .

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Étape 8.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + π (1)$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Étape 8.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Étape 8.2.3

Associez les fractions.

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Étape 8.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Étape 8.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Étape 8.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Étape 8.2.4.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Étape 8.3

L’intervalle $[π, \frac{3 π}{2}]$ contient $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4}$