Algèbre Exemples

$t^{3} = - 343$

Étape 1

Ajoutez $343$ aux deux côtés de l’équation.

$t^{3} + 343 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $343$ comme $7^{3}$ .

$t^{3} + 7^{3} = 0$

Étape 2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = t$ et $b = 7$ .

$(t + 7) (t^{2} - t \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$(t + 7) (t^{2} - 7 t + 7^{2}) = 0$

Étape 2.3.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$(t + 7) (t^{2} - 7 t + 49) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t + 7 = 0$

$t^{2} - 7 t + 49 = 0$

Étape 4

Définissez $t + 7$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 4.1

Définissez $t + 7$ égal à $0$ .

$t + 7 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$t = - 7$

Étape 5

Définissez $t^{2} - 7 t + 49$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 5.1

Définissez $t^{2} - 7 t + 49$ égal à $0$ .

$t^{2} - 7 t + 49 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $t^{2} - 7 t + 49 = 0$ pour $t$ .

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Étape 5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 7$ et $c = 49$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.3

Soustrayez $196$ de $49$ .

$t = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.4

Réécrivez $- 147$ comme $- 1 (147)$ .

$t = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (147)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$t = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.7

Réécrivez $147$ comme $7^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.2.3.1.7.1

Factorisez $49$ à partir de $147$ .

$t = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.7.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$t = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.1.9

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$t = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(t + 7) (t^{2} - 7 t + 49) = 0$ vraie.

$t = - 7, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$