Algèbre Exemples

$\log_{3} (2 x^{2} + 2) - \log_{3} (x + 3) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 2}{x + 3}) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2}{x + 3}) = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x + 3}) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{3} (\frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{2 (x^{2} + 1)}{x + 3}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$2 (x^{2} + 1) = 3^{0} (x + 3)$

Étape 4

Simplifiez $3^{0} (x + 3)$ .

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Étape 4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = 1 (x + 3)$

Étape 4.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$2 (x^{2} + 1) = x + 3$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 (x^{2} + 1) - x = 3$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 - x = 3$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{2} + 2 - x = 3$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - x = 3 - 2$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 x^{2} - x = 1$

Étape 7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Étape 8.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Étape 8.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 11

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Forme décimale :

$x = - 0.5, 1$