Algèbre Exemples

$\frac{5 r}{r^{2} - 9} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{r^{2} - 3^{2}} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = r$ et $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 3^{2}}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 r = 2 \cdot r \cdot 3$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 3 + 3^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = r$ et $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ par $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) (r - 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Étape 4.2

Élevez $r - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} (r - 3))} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Étape 4.3

Élevez $r - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} {(r - 3)}^{1})} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{1 + 1}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ par $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 4.7

Réorganisez les facteurs de $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 r (r - 3) - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 r \cdot r + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $r$ .

$\frac{5 (r \cdot r) + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{5 r^{2} + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- (4 r) - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.7

Développez $(- 4 r - 1) (r + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r (r + 3) - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.1.1

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1.1.1

Déplacez $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 (r \cdot r) - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.8.1.1.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.8.1.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.8.1.3

Réécrivez $- 1 r$ comme $- r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.8.2

Soustrayez $r$ de $- 12 r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.9

Soustrayez $4 r^{2}$ de $5 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 15 r - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Étape 6.10

Soustrayez $13 r$ de $- 15 r$ .

$\frac{r^{2} - 28 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$