Algèbre Exemples

$y = x^{2} - 4 x + 2$ $y = - \frac{3}{4} x - 1$

Étape 1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{3}{4} x - 1$

Étape 2

Résolvez $x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{3}{4} x - 1$ pour $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 1$

Étape 2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 4 x + 2 = - \frac{3 x}{4} - 1$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Ajoutez $\frac{3 x}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x + 2 + \frac{3 x}{4} = - 1$

Étape 2.2.2

Pour écrire $- 4 x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 4 x \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x}{4} + 2 = - 1$

Étape 2.2.3

Associez $- 4 x$ et $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 4}{4} + \frac{3 x}{4} + 2 = - 1$

Étape 2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Étape 2.2.5

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.5.1

Écrivez $x^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Étape 2.2.5.3

Multipliez $\frac{x^{2}}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + 2 = - 1$

Étape 2.2.5.4

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + \frac{2}{1} = - 1$

Étape 2.2.5.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} = - 1$

Étape 2.2.5.6

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- 4 x \cdot 4 + 3 x}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} = - 1$

Étape 2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot 4 + 3 x + 2 \cdot 4}{4} = - 1$

Étape 2.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.7.1

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} - 4 x \cdot 4 + 3 x + 2 \cdot 4}{4} = - 1$

Étape 2.2.7.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 3 x + 2 \cdot 4}{4} = - 1$

Étape 2.2.7.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 16 x + 3 x + 8}{4} = - 1$

Étape 2.2.8

Additionnez $- 16 x$ et $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 13 x + 8}{4} = - 1$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés par $4$ .

$\frac{4 x^{2} - 13 x + 8}{4} \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2} - 13 x + 8}{4} \cdot 4 = - 1 \cdot 4$

Étape 2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} - 13 x + 8 = - 1 \cdot 4$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$4 x^{2} - 13 x + 8 = - 4$

Étape 2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.5.1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 13 x + 8 + 4 = 0$

Étape 2.5.1.2

Additionnez $8$ et $4$ .

$4 x^{2} - 13 x + 12 = 0$

Étape 2.5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = - \frac{3}{4} x - 1$

Étape 2.5.3

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 13$ et $c = 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 12)}}{2 \cdot 4} + y = - \frac{3}{4} x - 1$

Étape 2.5.4

Simplifiez

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.4.1.1

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 12$ .

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Étape 2.5.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 16 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $12$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 192}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.1.3

Soustrayez $192$ de $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.5.1.1

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 12$ .

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Étape 2.5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 16 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $12$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 192}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.5.1.3

Soustrayez $192$ de $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.5.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.6.1.1

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 4 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 12$ .

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Étape 2.5.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 16 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $12$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 192}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.1.3

Soustrayez $192$ de $169$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{13 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{13 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}, \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$

Étape 3

Évaluez $y$ quand $x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $x$ par $\frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$

Étape 3.2

Remplacez $x$ par $\frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ dans $y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$

Étape 3.2.2

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8} - 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$ par $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{(13 + i \sqrt{23}) \cdot 3}{8 \cdot 4} - 1$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$y = - \frac{(13 + i \sqrt{23}) \cdot 3}{32} - 1$

Étape 3.2.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $13 + i \sqrt{23}$ .

$y = - \frac{3 (13 + i \sqrt{23})}{32} - 1$

Étape 3.2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 + i \sqrt{23})}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}$

Étape 3.2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 + i \sqrt{23})}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}$

Étape 3.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 71 - 3 i \sqrt{23}}{32}$

Étape 3.2.2.5

Réécrivez $- 71$ comme $- 1 (71)$ .

$y = \frac{- 1 (71) - 3 i \sqrt{23}}{32}$

Étape 3.2.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{23}$ .

$y = \frac{- 1 (71) - (3 i \sqrt{23})}{32}$

Étape 3.2.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (71) - (3 i \sqrt{23})$ .

$y = \frac{- 1 (71 + 3 i \sqrt{23})}{32}$

Étape 3.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{71 + 3 i \sqrt{23}}{32}$

Étape 4

Évaluez $y$ quand $x = \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $x$ par $\frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$

Étape 4.2

Remplacez $x$ par $\frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ dans $y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8} - 1$ .

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$ par $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{(13 - i \sqrt{23}) \cdot 3}{8 \cdot 4} - 1$

Étape 4.2.2.1.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$y = - \frac{(13 - i \sqrt{23}) \cdot 3}{32} - 1$

Étape 4.2.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $13 - i \sqrt{23}$ .

$y = - \frac{3 (13 - i \sqrt{23})}{32} - 1$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 - i \sqrt{23})}{32} - 1 \cdot \frac{32}{32}$

Étape 4.2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{32}{32}$ .

$y = - \frac{3 (13 - i \sqrt{23})}{32} + \frac{- 1 \cdot 32}{32}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 71 + 3 i \sqrt{23}}{32}$

Étape 4.2.2.5

Réécrivez $- 71$ comme $- 1 (71)$ .

$y = \frac{- 1 (71) + 3 i \sqrt{23}}{32}$

Étape 4.2.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{23}$ .

$y = \frac{- 1 (71) - (- 3 i \sqrt{23})}{32}$

Étape 4.2.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (71) - (- 3 i \sqrt{23})$ .

$y = \frac{- 1 (71 - 3 i \sqrt{23})}{32}$

Étape 4.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{71 - 3 i \sqrt{23}}{32}$

Étape 5

Indiquez toutes les solutions.

$y = - \frac{71 + 3 i \sqrt{23}}{32}, x = \frac{13 + i \sqrt{23}}{8}$

$y = - \frac{71 - 3 i \sqrt{23}}{32}, x = \frac{13 - i \sqrt{23}}{8}$

Étape 6