Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} + 3 x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 1) (x - 1)}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{x + 1}{(x + 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{(x + 2) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x - 1}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x - 1}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{x + 1}{x + 1}$ par $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x - 1}$