Algèbre Exemples

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} = 80$

Étape 1

Soustrayez $80$ des deux côtés de l’équation.

${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(2 x - 5)}^{2} - {(x - 6)}^{2} - 80$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(2 x - 5)}^{2}$ comme $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(2 x - 5) (2 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5) - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $10 x$ de $- 10 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - {(x - 6)}^{2} - 80 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez ${(x - 6)}^{2}$ comme $(x - 6) (x - 6)$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - ((x - 6) (x - 6)) - 80 = 0$

Étape 2.1.5

Développez $(x - 6) (x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x (x - 6) - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) - 80 = 0$

Étape 2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Étape 2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Étape 2.1.6.1.2

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) - 80 = 0$

Étape 2.1.6.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 80 = 0$

Étape 2.1.6.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - (x^{2} - 12 x + 36) - 80 = 0$

Étape 2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} - (- 12 x) - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Étape 2.1.8

Simplifiez

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Étape 2.1.8.1

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 1 \cdot 36 - 80 = 0$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$4 x^{2} - 20 x + 25 - x^{2} + 12 x - 36 - 80 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 20 x + 25 + 12 x - 36 - 80 = 0$

Étape 2.3

Additionnez $- 20 x$ et $12 x$ .

$3 x^{2} - 8 x + 25 - 36 - 80 = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $36$ de $25$ .

$3 x^{2} - 8 x - 11 - 80 = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $80$ de $- 11$ .

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 91 = - 273$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x - 91 = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $13$ plus $- 21$

$3 x^{2} + (13 - 21) x - 91 = 0$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 13 x - 21 x - 91 = 0$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 13 x) - 21 x - 91 = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 13) - 7 (3 x + 13) = 0$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 13$ .

$(3 x + 13) (x - 7) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 13 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 5

Définissez $3 x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $3 x + 13$ égal à $0$ .

$3 x + 13 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 x + 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 13$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 13$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 13$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 13}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 13}{3}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{13}{3}$

Étape 6

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 13) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{13}{3}, 7$

Forme décimale :

$x = - 4.\overline{3}, 7$

Forme de nombre mixte :

$x = - 4 \frac{1}{3}, 7$