Algèbre Exemples

$\sqrt{6 + 5 x} + \sqrt{3 x + 4} = 2$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{3 x + 4}$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{6 + 5 x} = 2 - \sqrt{3 x + 4}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{6 + 5 x}}^{2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 + 5 x}$ comme ${(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 + 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 + 5 x)}^{1} = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$6 + 5 x = {(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(2 - \sqrt{3 x + 4})}^{2}$ comme $(2 - \sqrt{3 x + 4}) (2 - \sqrt{3 x + 4})$ .

$6 + 5 x = (2 - \sqrt{3 x + 4}) (2 - \sqrt{3 x + 4})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(2 - \sqrt{3 x + 4}) (2 - \sqrt{3 x + 4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 + 5 x = 2 (2 - \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} (2 - \sqrt{3 x + 4})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 + 5 x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} (2 - \sqrt{3 x + 4})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 + 5 x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} \cdot 2 - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 + 5 x = 4 + 2 (- \sqrt{3 x + 4}) - \sqrt{3 x + 4} \cdot 2 - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - \sqrt{3 x + 4} \cdot 2 - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} - \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{3 x + 4} (- \sqrt{3 x + 4})$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + 1 \sqrt{3 x + 4} \sqrt{3 x + 4}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3 x + 4}$ par $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + \sqrt{3 x + 4} \sqrt{3 x + 4}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3 x + 4}$ à la puissance $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{1} \sqrt{3 x + 4}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{3 x + 4}$ à la puissance $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{1} {\sqrt{3 x + 4}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {\sqrt{3 x + 4}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3 x + 4}}^{2}$ comme $3 x + 4$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 4}$ comme ${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + {(3 x + 4)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$6 + 5 x = 4 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 4$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$6 + 5 x = 8 - 2 \sqrt{3 x + 4} - 2 \sqrt{3 x + 4} + 3 x$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{3 x + 4}$ de $- 2 \sqrt{3 x + 4}$ .

$6 + 5 x = 8 - 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x$

Étape 4

Résolvez $- 4 \sqrt{3 x + 4}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $8 - 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x = 6 + 5 x$ .

$8 - 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x = 6 + 5 x$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 4 \sqrt{3 x + 4}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x = 6 + 5 x - 8$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{3 x + 4} = 6 + 5 x - 8 - 3 x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $8$ de $6$ .

$- 4 \sqrt{3 x + 4} = 5 x - 2 - 3 x$

Étape 4.2.4

Soustrayez $3 x$ de $5 x$ .

$- 4 \sqrt{3 x + 4} = 2 x - 2$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 4 \sqrt{3 x + 4})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 4}$ comme ${(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 4 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(3 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(3 x + 4)}^{1} = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$16 (3 x + 4) = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 (3 x) + 16 \cdot 4 = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 x + 16 \cdot 4 = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$48 x + 64 = {(2 x - 2)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(2 x - 2)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 2)}^{2}$ comme $(2 x - 2) (2 x - 2)$ .

$48 x + 64 = (2 x - 2) (2 x - 2)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(2 x - 2) (2 x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$48 x + 64 = 2 x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$48 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$48 x + 64 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$48 x + 64 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$48 x + 64 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$48 x + 64 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 4 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 2$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 4 x - 4 x + 4$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 4 x$ .

$48 x + 64 = 4 x^{2} - 8 x + 4$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 8 x + 4 = 48 x + 64$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $48 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 8 x + 4 - 48 x = 64$

Étape 7.2.2

Soustrayez $48 x$ de $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 56 x + 4 = 64$

Étape 7.3

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 56 x + 4 - 64 = 0$

Étape 7.4

Soustrayez $64$ de $4$ .

$4 x^{2} - 56 x - 60 = 0$

Étape 7.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 56 x - 60$ .

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Étape 7.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 56 x - 60 = 0$

Étape 7.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 56 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 14 x) - 60 = 0$

Étape 7.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 60$ .

$4 x^{2} + 4 (- 14 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Étape 7.5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 14 x)$ .

$4 (x^{2} - 14 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Étape 7.5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 14 x) + 4 \cdot - 15$ .

$4 (x^{2} - 14 x - 15) = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez.

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Étape 7.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 14 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 15, 1$

Étape 7.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x - 15) (x + 1)) = 0$

Étape 7.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 15) (x + 1) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 15 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x - 15$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $x - 15$ égal à $0$ .

$x - 15 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 15$

Étape 7.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 7.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 15) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 15, - 1$

Étape 8

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{6 + 5 x} + \sqrt{3 x + 4} = 2$ vrai.

$x = - 1$