Algèbre Exemples

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Étape 1

Simplifiez $3 x (x + 1)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$3 x (x + 1) \leq x (x + 5)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Étape 1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Étape 1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 1 \leq x (x + 5)$

Étape 1.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x (x + 5)$

Étape 2

Simplifiez $x (x + 5)$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 x \leq x \cdot x + x \cdot 5$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + x \cdot 5$

Étape 2.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \leq x^{2} + 5 x$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} \leq 5 x$

Étape 3.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$3 x^{2} + 3 x - x^{2} - 5 x \leq 0$

Étape 3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 3 x - 5 x \leq 0$

Étape 3.4

Soustrayez $5 x$ de $3 x$ .

$2 x^{2} - 2 x \leq 0$

Étape 4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 2 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 1) = 0$

Étape 5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (- 1)$ .

$2 x (x - 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$3 (- 2) ((- 2) + 1) \leq (- 2) ((- 2) + 5)$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $6$ est supérieur au côté droit $- 6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$3 (0.5) ((0.5) + 1) \leq (0.5) ((0.5) + 5)$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $2.25$ est inférieur au côté droit $2.75$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 (4) ((4) + 1) \leq (4) ((4) + 5)$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $60$ est supérieur au côté droit $36$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 \leq x \leq 1$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$0 \leq x \leq 1$

Notation d’intervalle :

$[0, 1]$

Étape 14