Algèbre Exemples

$16 x^{2} - 4 y^{2} = 12 y - 16 x + 1$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $12 y$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 4 y^{2} - 12 y = - 16 x + 1$

Étape 1.2

Ajoutez $16 x$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 4 y^{2} - 12 y + 16 x = 1$

Étape 1.3

Déplacez $- 12 y$ .

$16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$

Étape 2

Complétez le carré pour $16 x^{2} + 16 x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 16$

$b = 16$

$c = 0$

Étape 2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 16}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 16}$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (16)}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 16}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{8}{16}$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $16$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$d = \frac{8 (1)}{16}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$d = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 16}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à $16^{2}$ et $16$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16^{2}$ .

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{4 \cdot 16}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Factorisez $16$ à partir de $4 \cdot 16$ .

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{16}{4}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 2.4.2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4}$

Étape 2.4.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 2.4.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 2.4.2.1.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$

Étape 3

Remplacez $16 x^{2} + 16 x$ par $16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4$ dans l’équation $16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 - 4 y^{2} - 12 y = 1$

Étape 4

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} - 12 y = 1 + 4$

Étape 5

Complétez le carré pour $- 4 y^{2} - 12 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = - 12$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (- 4)}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 4}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 6}{- 4}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $- 4$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Étape 5.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{3}{2}$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 12$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 4}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 16}$

Étape 5.4.2.1.3

Divisez $144$ par $- 16$ .

$e = 0 - - 9$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Étape 5.4.2.2

Additionnez $0$ et $9$ .

$e = 9$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$ .

$- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$

Étape 6

Remplacez $- 4 y^{2} - 12 y$ par $- 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9$ dans l’équation $16 x^{2} - 4 y^{2} + 16 x - 12 y = 1$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} + 9 = 1 + 4$

Étape 7

Déplacez $9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 + 4 - 9$

Étape 8

Simplifiez $1 + 4 - 9$ .

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Étape 8.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 5 - 9$

Étape 8.2

Soustrayez $9$ de $5$ .

$16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} - 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - 4$

Étape 9

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- 16 {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 4 {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 4$

Étape 10

Divisez chaque terme par $4$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{16 {(x + \frac{1}{2})}^{2}}{4} + \frac{4 {(y + \frac{3}{2})}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{{(x + \frac{1}{2})}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$