Algèbre Exemples

$\frac{6 - \sqrt{5}}{6 + \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{6 - \sqrt{5}}{6 + \sqrt{5}}$ par $\frac{6 - \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{6 - \sqrt{5}}{6 + \sqrt{5}} \cdot \frac{6 - \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{6 - \sqrt{5}}{6 + \sqrt{5}}$ par $\frac{6 - \sqrt{5}}{6 - \sqrt{5}}$ .

$\frac{(6 - \sqrt{5}) (6 - \sqrt{5})}{(6 + \sqrt{5}) (6 - \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(6 - \sqrt{5}) (6 - \sqrt{5})}{36 - 6 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 6 - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(6 - \sqrt{5}) (6 - \sqrt{5})}{31}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Élevez $6 - \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(6 - \sqrt{5})}^{1} (6 - \sqrt{5})}{31}$

Étape 3.2

Élevez $6 - \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(6 - \sqrt{5})}^{1} {(6 - \sqrt{5})}^{1}}{31}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(6 - \sqrt{5})}^{1 + 1}}{31}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(6 - \sqrt{5})}^{2}}{31}$

Étape 4

Réécrivez ${(6 - \sqrt{5})}^{2}$ comme $(6 - \sqrt{5}) (6 - \sqrt{5})$ .

$\frac{(6 - \sqrt{5}) (6 - \sqrt{5})}{31}$

Étape 5

Développez $(6 - \sqrt{5}) (6 - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (6 - \sqrt{5}) - \sqrt{5} (6 - \sqrt{5})}{31}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} (6 - \sqrt{5})}{31}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 6 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{31}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{36 + 6 (- \sqrt{5}) - \sqrt{5} \cdot 6 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{31}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 6 - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{31}$

Étape 6.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{31}$

Étape 6.1.4

Multipliez $- \sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 1 \sqrt{5} \sqrt{5}}{31}$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $\sqrt{5}$ par $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{31}$

Étape 6.1.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{31}$

Étape 6.1.4.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{31}$

Étape 6.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{31}$

Étape 6.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2}}{31}$

Étape 6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{31}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{31}$

Étape 6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{31}$

Étape 6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 5^{\frac{2}{2}}}{31}$

Étape 6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 5^{1}}{31}$

Étape 6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{36 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} + 5}{31}$

Étape 6.2

Additionnez $36$ et $5$ .

$\frac{41 - 6 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5}}{31}$

Étape 6.3

Soustrayez $6 \sqrt{5}$ de $- 6 \sqrt{5}$ .

$\frac{41 - 12 \sqrt{5}}{31}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{41 - 12 \sqrt{5}}{31}$

Forme décimale :

$0.45700594 \dots$