Algèbre Exemples

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4}{3}$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = 0$

$c = \frac{4}{3}$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{3}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = 0 (- 1 \cdot 3)$

Étape 1.1.1.3.2.3

Multipliez $0 (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 1.1.1.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$d = 0 \cdot - 3$

Étape 1.1.1.3.2.3.2

Multipliez $0$ par $- 3$ .

$d = 0$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{4 (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{\frac{- 4}{3}}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = \frac{4}{3} - \frac{0}{- \frac{4}{3}}$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = \frac{4}{3} - (0 (- \frac{3}{4}))$

Étape 1.1.1.4.2.1.5

Multipliez $0 (- \frac{3}{4})$ .

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Étape 1.1.1.4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = \frac{4}{3} - (0 (\frac{3}{4}))$

Étape 1.1.1.4.2.1.5.2

Multipliez $0$ par $\frac{3}{4}$ .

$e = \frac{4}{3} - 0$

Étape 1.1.1.4.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e = \frac{4}{3} + 0$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $\frac{4}{3}$ et $0$ .

$e = \frac{4}{3}$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 0)}^{2} + \frac{4}{3}$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 0$

$k = \frac{4}{3}$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(0, \frac{4}{3})$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{3})}$

Étape 1.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 1.5.3.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3}}$

Étape 1.5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{3}{4}))$

Étape 1.5.3.4

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, \frac{7}{12})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 0$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{25}{12}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(0, \frac{4}{3})$

Foyer : $(0, \frac{7}{12})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{25}{12}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(0, \frac{4}{3})$

Foyer : $(0, \frac{7}{12})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{25}{12}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 4}{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 4}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 4}{3}$

Étape 2.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f (- 1) = \frac{3}{3}$

Étape 2.2.3.2

Divisez $3$ par $3$ .

$f (- 1) = 1$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} + 4}{3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (- 2) = \frac{0}{3}$

Étape 2.5.3.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (- 2) = 0$

Étape 2.5.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (1) = \frac{- {(1)}^{2} + 4}{3}$

Étape 2.8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{- 1 \cdot 1 + 4}{3}$

Étape 2.8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 4}{3}$

Étape 2.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.3.1

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f (1) = \frac{3}{3}$

Étape 2.8.3.2

Divisez $3$ par $3$ .

$f (1) = 1$

Étape 2.8.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 4}{3}$

Étape 2.11.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 4}{3}$

Étape 2.11.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 4}{3}$

Étape 2.11.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (2) = \frac{0}{3}$

Étape 2.11.3.2

Divisez $0$ par $3$ .

$f (2) = 0$

Étape 2.11.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(0, \frac{4}{3})$

Foyer : $(0, \frac{7}{12})$

Axe de symétrie : $x = 0$

Directrice : $y = \frac{25}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & 1 \\ 0 & \frac{4}{3} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}$

Étape 4