Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \div \frac{x + 6}{36 - x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} + x - 20}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 40 x + 96$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) - 40 x + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 40 x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2}) + 4 (- 10 x) + 96} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $96$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 x^{2} + 4 (- 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 3.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 10 x)$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 3.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 10 x) + 4 \cdot 24$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x^{2} - 10 x + 24)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - 10 x + 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $24$ et dont la somme est $- 10$ .

$- 6, - 4$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 ((x - 6) (x - 4))} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{25 - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{5^{2} - x^{2}} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) (x + 5)}{4 (x - 6) (x - 4)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 5}{4 (x - 6)} \cdot \frac{3}{(5 + x) (5 - x)} \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{x + 5}{4 (x - 6)}$ par $\frac{3}{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((5 + x) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $x + 5$ et $5 + x$ .

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Étape 5.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) \cdot 3}{4 (x - 6) ((x + 5) (5 - x))} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x + 6}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x + 6}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 6$ et $b = x$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x + 6}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $6 + x$ et $x + 6$ .

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Étape 7.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (6 - x)}{x + 6}$

Étape 7.1.3

Divisez $6 - x$ par $1$ .

$\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)} (6 - x)$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{3}{4 (x - 6) (5 - x)}$ par $6 - x$ .

$\frac{3 (6 - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $6 - x$ et $x - 6$ .

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Étape 7.3.1

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6) - x)}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Étape 7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6) - (x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Étape 7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 6) - (x)$ .

$\frac{3 (- 1 (- 6 + x))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Étape 7.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Étape 7.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 1 (x - 6))}{4 (x - 6) (5 - x)}$

Étape 7.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{4 (5 - x)}$

Étape 8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{- 3}{4 (5 - x)}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4 (5 - x)}$