Algèbre Exemples

$(3 m^{2} - 4 m + 1) (2 m^{2} + 5 m - 9)$

Étape 1

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Développez $(3 m^{2} - 4 m + 1) (2 m^{2} + 5 m - 9)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$3 m^{2} (2 m^{2}) + 3 m^{2} (5 m) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 2 m^{2} m^{2} + 3 m^{2} (5 m) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.2

Multipliez $m^{2}$ par $m^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $m^{2}$ .

$3 \cdot 2 (m^{2} m^{2}) + 3 m^{2} (5 m) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cdot 2 m^{2 + 2} + 3 m^{2} (5 m) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 \cdot 2 m^{4} + 3 m^{2} (5 m) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 m^{4} + 3 m^{2} (5 m) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 m^{4} + 3 \cdot 5 m^{2} m + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.5

Multipliez $m^{2}$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $m$ .

$6 m^{4} + 3 \cdot 5 (m \cdot m^{2}) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $m$ par $m^{2}$ .

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Étape 3.1.5.2.1

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$6 m^{4} + 3 \cdot 5 (m^{1} m^{2}) + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 m^{4} + 3 \cdot 5 m^{1 + 2} + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 m^{4} + 3 \cdot 5 m^{3} + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.6

Multipliez $3$ par $5$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} + 3 m^{2} \cdot - 9 - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.7

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 4 m (2 m^{2}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 4 \cdot 2 m \cdot m^{2} - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.9

Multipliez $m$ par $m^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.9.1

Déplacez $m^{2}$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 4 \cdot 2 (m^{2} m) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.9.2

Multipliez $m^{2}$ par $m$ .

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Étape 3.1.9.2.1

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 4 \cdot 2 (m^{2} m^{1}) - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 4 \cdot 2 m^{2 + 1} - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 4 \cdot 2 m^{3} - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.10

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 4 m (5 m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 4 \cdot 5 m \cdot m - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.12

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.12.1

Déplacez $m$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 4 \cdot 5 (m \cdot m) - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.12.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 4 \cdot 5 m^{2} - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.13

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 20 m^{2} - 4 m \cdot - 9 + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.14

Multipliez $- 9$ par $- 4$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 20 m^{2} + 36 m + 1 (2 m^{2}) + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.15

Multipliez $2 m^{2}$ par $1$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 20 m^{2} + 36 m + 2 m^{2} + 1 (5 m) + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.16

Multipliez $5 m$ par $1$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 20 m^{2} + 36 m + 2 m^{2} + 5 m + 1 \cdot - 9$

Étape 3.1.17

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$6 m^{4} + 15 m^{3} - 27 m^{2} - 8 m^{3} - 20 m^{2} + 36 m + 2 m^{2} + 5 m - 9$

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $8 m^{3}$ de $15 m^{3}$ .

$6 m^{4} + 7 m^{3} - 27 m^{2} - 20 m^{2} + 36 m + 2 m^{2} + 5 m - 9$

Étape 3.2.2

Soustrayez $20 m^{2}$ de $- 27 m^{2}$ .

$6 m^{4} + 7 m^{3} - 47 m^{2} + 36 m + 2 m^{2} + 5 m - 9$

Étape 3.2.3

Additionnez $- 47 m^{2}$ et $2 m^{2}$ .

$6 m^{4} + 7 m^{3} - 45 m^{2} + 36 m + 5 m - 9$

Étape 3.2.4

Additionnez $36 m$ et $5 m$ .

$6 m^{4} + 7 m^{3} - 45 m^{2} + 41 m - 9$