Algèbre Exemples

$(5 \sqrt{3} + \sqrt{15}) \cdot (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$

Étape 1

Développez $(5 \sqrt{3} + \sqrt{15}) (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5} - \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5} - \sqrt{15})$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5}) + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez $5 \sqrt{3} (3 \sqrt{5})$ .

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Étape 2.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$15 \sqrt{3} \sqrt{5} + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$15 \sqrt{5 \cdot 3} + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 \sqrt{15} + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{15}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.2

Multipliez $5 \sqrt{3} (- \sqrt{15})$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{3} \sqrt{15} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{15 \cdot 3} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.2.3

Multipliez $15$ par $3$ .

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{45} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.3

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{9 (5)} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$15 \sqrt{15} - 5 \sqrt{3^{2} \cdot 5} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$15 \sqrt{15} - 5 (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + \sqrt{15} (3 \sqrt{5}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.6

Multipliez $\sqrt{15} (3 \sqrt{5})$ .

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Étape 2.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{15 \cdot 5} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.6.2

Multipliez $15$ par $5$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{75} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{25 (3)} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 3 (5 \sqrt{3}) + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.9

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} + \sqrt{15} (- \sqrt{15})$

Étape 2.10

Multipliez $\sqrt{15} (- \sqrt{15})$ .

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Étape 2.10.1

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})$

Étape 2.10.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})$

Étape 2.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - {\sqrt{15}}^{1 + 1}$

Étape 2.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - {\sqrt{15}}^{2}$

Étape 2.11

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 2.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15^{1}$

Étape 2.11.5

Évaluez l’exposant.

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 1 \cdot 15$

Étape 2.12

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$15 \sqrt{15} - 15 \sqrt{5} + 15 \sqrt{3} - 15$

Forme décimale :

$35.53449264 \dots$