Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4} \leq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 4$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 1, - 1$

$x = - 1, - 4$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = 1, - 1, - 1, - 4$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 5 x + 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 5 x + 4 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $x^{2} + 5 x + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 13.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $5$ .

$1, 4$

Étape 13.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 4) = 0$

Étape 13.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 13.2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 13.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 13.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 13.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 13.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 4$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 1}{{(- 6)}^{2} + 5 (- 6) + 4} \leq 0$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $3.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 1}{{(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 4} \leq 0$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 1.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 5 (0) + 4} \leq 0$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $- 0.25$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 5 (4) + 4} \leq 0$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $0.375$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 15.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < - 1$ ou $- 1 < x \leq 1$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 4 < x < - 1 or - 1 < x \leq 1$

Notation d’intervalle :

$(- 4, - 1) \cup (- 1, 1]$

Étape 18