Algèbre Exemples

$\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\log_{5} (\frac{25}{x}) - \log_{5} (x) = 4$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{\frac{25}{x}}{x}) = 4$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{5} (\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}) = 4$

Étape 4

Multipliez $\frac{25}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{25}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Étape 4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Étape 4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x \cdot x}) = 4$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{5} (\frac{25}{x^{1 + 1}}) = 4$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$

Étape 5

Réécrivez $\log_{5} (\frac{25}{x^{2}}) = 4$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{4} = \frac{25}{x^{2}}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 5^{4}$

Étape 6.2

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$\frac{25}{x^{2}} = 625$

Étape 6.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 6.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 6.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{25}{x^{2}} = 625$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{25}{x^{2}} = 625$ par $x^{2}$ .

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{25}{x^{2}} x^{2} = 625 x^{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$25 = 625 x^{2}$

Étape 6.5

Résolvez l’équation.

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $625 x^{2} = 25$ .

$625 x^{2} = 25$

Étape 6.5.2

Divisez chaque terme dans $625 x^{2} = 25$ par $625$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.1

Divisez chaque terme dans $625 x^{2} = 25$ par $625$ .

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Étape 6.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $625$ .

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Étape 6.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{625 x^{2}}{625} = \frac{25}{625}$

Étape 6.5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{25}{625}$

Étape 6.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $25$ et $625$ .

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Étape 6.5.2.3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$x^{2} = \frac{25 (1)}{625}$

Étape 6.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.1.2.1

Factorisez $25$ à partir de $625$ .

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Étape 6.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 25}$

Étape 6.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Étape 6.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Étape 6.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

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Étape 6.5.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Étape 6.5.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Étape 6.5.4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.4.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 6.5.4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Étape 6.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{5}$

Étape 6.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{5}$

Étape 6.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (\frac{25}{x}) = 4 + \log_{5} (x)$ vrai.

$x = \frac{1}{5}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{5}$

Forme décimale :

$x = 0.2$