Algèbre Exemples

$f (x) = {(- x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\int {(- (x))}^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $- (x)$ .

$\int {(- 1)}^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 3

Comme ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , placez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ en dehors de l’intégrale.

${(- 1)}^{\frac{1}{2}} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $i (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$ .

$i (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$i \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 5.2.2

Associez $i$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{i (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 5.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{2 i x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 i}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 6

La fonction $F$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$F (x) = \frac{2 i}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$