Algèbre Exemples

$\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - 5 x}}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - 5 x}$ comme ${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - 5 x)}^{1} = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$1 - 5 x = {(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{6 - x})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ .

$1 - 5 x = (1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$

Étape 2.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{6 - x}) (1 + \sqrt{6 - x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 5 x = 1 (1 + \sqrt{6 - x}) + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} (1 + \sqrt{6 - x})$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 5 x = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 - 5 x = 1 + 1 \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{6 - x}$ par $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \cdot 1 + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{6 - x}$ par $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{6 - x} \sqrt{6 - x}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{6 - x}$ à la puissance $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} \sqrt{6 - x}$

Étape 2.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{6 - x}$ à la puissance $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1} {\sqrt{6 - x}}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {\sqrt{6 - x}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{6 - x}}^{2}$ comme $6 - x$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 - x}$ comme ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + {(6 - x)}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$1 - 5 x = 1 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} + 6 - x$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$1 - 5 x = 7 + \sqrt{6 - x} + \sqrt{6 - x} - x$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{6 - x}$ et $\sqrt{6 - x}$ .

$1 - 5 x = 7 + 2 \sqrt{6 - x} - x$

Étape 3

Résolvez $2 \sqrt{6 - x}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$ .

$7 + 2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{6 - x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{6 - x} - x = 1 - 5 x - 7$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{6 - x} = 1 - 5 x - 7 + x$

Étape 3.2.3

Soustrayez $7$ de $1$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 5 x - 6 + x$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 5 x$ et $x$ .

$2 \sqrt{6 - x} = - 4 x - 6$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{6 - x})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 - x}$ comme ${(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(6 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(6 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(6 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(6 - x)}^{1} = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$4 (6 - x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 6 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez.

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Étape 5.2.1.6.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$24 + 4 (- x) = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$24 - 4 x = {(- 4 x - 6)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(- 4 x - 6)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(- 4 x - 6)}^{2}$ comme $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ .

$24 - 4 x = (- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(- 4 x - 6) (- 4 x - 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x - 6) - 6 (- 4 x - 6)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x - 6)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$24 - 4 x = - 4 x (- 4 x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$24 - 4 x = - 4 \cdot - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} - 4 x \cdot - 6 - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x - 6 (- 4 x) - 6 \cdot - 6$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x - 6 \cdot - 6$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 6$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 24 x + 24 x + 36$

Étape 5.3.1.3.2

Additionnez $24 x$ et $24 x$ .

$24 - 4 x = 16 x^{2} + 48 x + 36$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$16 x^{2} + 48 x + 36 = 24 - 4 x$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $4 x$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} + 48 x + 36 + 4 x = 24$

Étape 6.2.2

Additionnez $48 x$ et $4 x$ .

$16 x^{2} + 52 x + 36 = 24$

Étape 6.3

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} + 52 x + 36 - 24 = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $24$ de $36$ .

$16 x^{2} + 52 x + 12 = 0$

Étape 6.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.5.1

Factorisez $4$ à partir de $16 x^{2} + 52 x + 12$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16 x^{2}$ .

$4 (4 x^{2}) + 52 x + 12 = 0$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $52 x$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 12 = 0$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$4 (4 x^{2}) + 4 (13 x) + 4 (3) = 0$

Étape 6.5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 x^{2}) + 4 (13 x)$ .

$4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3) = 0$

Étape 6.5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (4 x^{2} + 13 x) + 4 (3)$ .

$4 (4 x^{2} + 13 x + 3) = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ et dont la somme est $b = 13$ .

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Étape 6.5.2.1.1.1

Factorisez $13$ à partir de $13 x$ .

$4 (4 x^{2} + 13 (x) + 3) = 0$

Étape 6.5.2.1.1.2

Réécrivez $13$ comme $1$ plus $12$

$4 (4 x^{2} + (1 + 12) x + 3) = 0$

Étape 6.5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (4 x^{2} + 1 x + 12 x + 3) = 0$

Étape 6.5.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$4 (4 x^{2} + x + 12 x + 3) = 0$

Étape 6.5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$4 ((4 x^{2} + x) + 12 x + 3) = 0$

Étape 6.5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 (x (4 x + 1) + 3 (4 x + 1)) = 0$

Étape 6.5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 1$ .

$4 ((4 x + 1) (x + 3)) = 0$

Étape 6.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 6.7

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Étape 6.7.2

Résolvez $4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 1$

Étape 6.7.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 6.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 6.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 6.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 6.8

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 6.8.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (4 x + 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{4}, - 3$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{1 - 5 x} = 1 + \sqrt{6 - x}$ vrai.

$x = - 3$