Algèbre Exemples

$y = 2 \sqrt{x + 7}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 \sqrt{y + 7}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sqrt{y + 7} = x$ .

$2 \sqrt{y + 7} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{y + 7} = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sqrt{y + 7} = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{y + 7}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{y + 7}}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{y + 7}$ par $1$ .

$\sqrt{y + 7} = \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 7}$ comme ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 7)}^{1} = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$y + 7 = {(\frac{x}{2})}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$y + 7 = \frac{x^{2}}{2^{2}}$

Étape 2.4.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y + 7 = \frac{x^{2}}{4}$

Étape 2.5

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x^{2}}{4} - 7$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt{x + 7}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{{(2 \sqrt{x + 7})}^{2}}{4} - 7$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{x + 7}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x + 7}}^{2}}{4} - 7$

Étape 4.2.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {\sqrt{x + 7}}^{2}}{4} - 7$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ comme $x + 7$ .

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Étape 4.2.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} - 7$

Étape 4.2.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} - 7$

Étape 4.2.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 7$

Étape 4.2.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4} - 7$

Étape 4.2.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Étape 4.2.3.1.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = \frac{4 (x + 7)}{4} - 7$

Étape 4.2.3.2.2

Divisez $x + 7$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x + 7 - 7$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x + 7}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{4} - 7)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{(\frac{x^{2}}{4} - 7) + 7}$

Étape 4.3.3

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} + 0}$

Étape 4.3.4

Additionnez $\frac{x^{2}}{4}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2}}$

Étape 4.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{4} - 7) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - 7$