Algèbre Exemples

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \geq 9$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \geq 9^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ comme ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 9^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \geq 9^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 9^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 81$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

Étape 3.2

Soustrayez $81$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

Étape 3.3

Soustrayez $81$ de $9$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Étape 3.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 12 x - 72$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 72$ .

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ .

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ .

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 3.4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Étape 3.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Étape 3.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3.6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.7

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.7.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.7.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 6, - 3$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \geq 9$

Étape 5.1.3

Le côté gauche $15$ est supérieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \geq 9$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $3$ est inférieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \geq 9$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $13$ est supérieur au côté droit $9$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x \geq 6$

Étape 7

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Étape 8