Algèbre Exemples

$\frac{\log_{8} (2) + \log_{81} (3)}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

La base logarithmique $8$ de $2$ est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \log_{81} (3)}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.2

La base logarithmique $81$ de $3$ est $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.3

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.4

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{4}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.5.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.5.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.5.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\frac{4}{12} + \frac{3}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 + 3}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 1.7

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27)}$

Étape 2

La base logarithmique $\sqrt{3}$ de $27$ est $6$ .

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Étape 2.1

Réécrivez comme une équation.

$\frac{\frac{7}{12}}{\log_{\sqrt{3}} (27) = x}$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{\sqrt{3}} (27) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{{\sqrt{3}}^{x} = 27}$

Étape 2.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$\frac{\frac{7}{12}}{{\sqrt{3}}^{x} = {\sqrt{3}}^{6}}$

Étape 2.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$\frac{\frac{7}{12}}{x = 6}$

Étape 2.5

La variable $x$ est égale à $6$ .

$\frac{\frac{7}{12}}{6}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 4

Multipliez $\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{7}{12}$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{7}{12 \cdot 6}$

Étape 4.2

Multipliez $12$ par $6$ .

$\frac{7}{72}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{72}$

Forme décimale :

$0.097\overline{2}$