Algèbre Exemples

$\sqrt{8 (x - k)} = x - k$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{8 (x - k)}}^{2} = {(x - k)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 (x - k)}$ comme ${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - k)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - k)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - k)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(8 (x - k))}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(8 x + 8 (- k))}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez.

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

${(8 x - 8 k)}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Simplifiez

$8 x - 8 k = {(x - k)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(x - k)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(x - k)}^{2}$ comme $(x - k) (x - k)$ .

$8 x - 8 k = (x - k) (x - k)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(x - k) (x - k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x - 8 k = x (x - k) - k (x - k)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 x - 8 k = x \cdot x + x (- k) - k (x - k)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 x - 8 k = x \cdot x + x (- k) - k x - k (- k)$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} + x (- k) - k x - k (- k)$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - k (- k)$

Étape 2.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 k \cdot k$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.4.1

Déplacez $k$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 (k \cdot k)$

Étape 2.3.1.3.1.4.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 k^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x + 1 k^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.6

Multipliez $k^{2}$ par $1$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x + k^{2}$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez $k x$ de $- x k$ .

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Étape 2.3.1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - k x - k x + k^{2}$

Étape 2.3.1.3.2.2

Soustrayez $k x$ de $- k x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - 2 k x + k^{2}$

Étape 3

Résolvez $k$ .

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Étape 3.1

Comme $k$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} = 8 x - 8 k$

Étape 3.2

Ajoutez $8 k$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} + 8 k = 8 x$

Étape 3.3

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} + 8 k - 8 x = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 x + 8$ et $c = x^{2} - 8 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $k$ .

$\frac{- (- 2 x + 8) \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$k = \frac{2 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ par $u$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Réécrivez ${(- 2 x + 8)}^{2}$ comme $(- 2 x + 8) (- 2 x + 8)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{(- 2 x + 8) (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.2

Développez $(- 2 x + 8) (- 2 x + 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x + 8) + 8 (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.6.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3.1.4

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x - 16 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3.1.6

Multipliez $8$ par $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x - 16 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3.2

Soustrayez $16 x$ de $- 16 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 u$ .

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Étape 3.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 32 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $64$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 8 x) + 4 (16)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 8 x + 16) + 4 (- u)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - (1 \cdot (x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8

Simplifiez

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Étape 3.6.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.6.1.8.1.1

Multipliez $x^{2} - 8 x$ par $1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} - (- 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} + 8 x$ .

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Étape 3.6.1.8.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 x + 16 + 0 + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8.2.2

Additionnez $- 8 x + 16$ et $0$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 x + 16 + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8.2.3

Additionnez $- 8 x$ et $8 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (0 + 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8.2.4

Additionnez $0$ et $16$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.9

Multipliez $4$ par $16$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.10

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$k = \frac{2 x - 8 \pm 8}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm 8}{2}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$k = x$

$k = x - 8$

$k = x$

$k = x - 8$