Algèbre Exemples

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 3$

$x = 2$

Étape 5

Consolidez les solutions.

$x = - 3, 2$

Étape 6

Déterminez le domaine de $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 3}{x - 2}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 2 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $0.375$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 1.5$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $3.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 3$ ou $x > 2$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - 3 or x > 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Étape 11