Algèbre Exemples

$3 \tan^{3} (x) = \tan (x)$

Étape 1

Soustrayez $\tan (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $3 \tan^{3} (x) - \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $3 \tan^{3} (x)$ .

$\tan (x) (3 \tan^{2} (x)) - \tan (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $- \tan (x)$ .

$\tan (x) (3 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) (3 \tan^{2} (x)) + \tan (x) \cdot - 1$ .

$\tan (x) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 4.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $3 \tan^{2} (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $3 \tan^{2} (x) - 1$ égal à $0$ .

$3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 \tan^{2} (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \tan^{2} (x) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (x) = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \tan^{2} (x) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \tan^{2} (x)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 5.2.4.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 5.2.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.2.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.2.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.2.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.2.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 5.2.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5.2.7

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.3

$x = π + \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.4

Simplifiez $π + \frac{π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 5.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 5.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.4.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 5.2.7.4.3.2

Additionnez $6 π$ et $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 5.2.7.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.7.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.7.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 5.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.8.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{6} - π$

Étape 5.2.8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

Étape 5.2.8.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{6}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 5.2.8.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.8.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.8.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + π$

Étape 5.2.8.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.8.6.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.2.8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 5.2.8.6.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.6.4.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$\frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 5.2.8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 5.2.8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 5.2.8.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.10

Consolidez les solutions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.10.1

Consolidez $\frac{π}{6} + π n$ et $\frac{7 π}{6} + π n$ en $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.10.2

Consolidez $\frac{5 π}{6} + π n$ et $\frac{5 π}{6} + π n$ en $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (3 \tan^{2} (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , pour tout entier $n$