Algèbre Exemples

$\tan (\frac{θ}{2}) = \sqrt{3}$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{θ}{2} = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$\frac{θ}{2} = \frac{π}{3}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ = 2 \frac{π}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{θ}{2} = π + \frac{π}{3}$

Étape 6

Résolvez $θ$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ = 2 (π + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $2 (π + \frac{π}{3})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = 2 \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$θ = 2 \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$θ = 2 \frac{4 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez $2 \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\tan (\frac{θ}{2})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 2$

Étape 7.5

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction $\tan (\frac{θ}{2})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$