Algèbre Exemples

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}} = - 1$

Étape 2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez ${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 3.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = 1$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 x + 6 - 1 = 0$

Étape 4.1.2

Soustrayez $1$ de $6$ .

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Étape 4.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 4.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.3

Soustrayez $20$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

Étape 4.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i$

Étape 4.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$