Algèbre Exemples

$(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x) = 1008$

Étape 1

Simplifiez $(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Développez $(30 - 2 x) (20 - 2 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(30 (20 - 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Multipliez $30$ par $20$ .

$(600 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $30$ .

$(600 - 60 x - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Étape 1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x = 1008$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x = 1008$

Étape 1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x = 1008$

Étape 1.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Étape 1.2.2

Soustrayez $40 x$ de $- 60 x$ .

$(600 - 100 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$600 x - 100 x \cdot x + 4 x^{2} x = 1008$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Déplacez $x$ .

$600 x - 100 (x \cdot x) + 4 x^{2} x = 1008$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{2} x = 1008$

Étape 1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Déplacez $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) = 1008$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x^{1} x^{2}) = 1008$

Étape 1.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{1 + 2} = 1008$

Étape 1.4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} = 1008$

Étape 2

Soustrayez $1008$ des deux côtés de l’équation.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $4$ à partir de $600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $600 x$ .

$4 (150 x) - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 100 x^{2}$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 (x^{3}) - 1008 = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 1008$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2})$ .

$4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Étape 3.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3}$ .

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252 = 0$

Étape 3.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252$ .

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3} - 252) = 0$

Étape 3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 (x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252) = 0$

Étape 3.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

$q = \pm 1$

Étape 3.3.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

Étape 3.3.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Étape 3.3.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Étape 3.3.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 - 25 \cdot 9 + 150 \cdot 3 - 252$

Étape 3.3.1.3.4

Multipliez $- 25$ par $9$ .

$27 - 225 + 150 \cdot 3 - 252$

Étape 3.3.1.3.5

Soustrayez $225$ de $27$ .

$- 198 + 150 \cdot 3 - 252$

Étape 3.3.1.3.6

Multipliez $150$ par $3$ .

$- 198 + 450 - 252$

Étape 3.3.1.3.7

Additionnez $- 198$ et $450$ .

$252 - 252$

Étape 3.3.1.3.8

Soustrayez $252$ de $252$ .

$0$

Étape 3.3.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252}{x - 3}$

Étape 3.3.1.5

Divisez $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ par $x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$252$

Étape 3.3.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 3.3.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 3.3.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$

Étape 3.3.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Étape 3.3.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 22 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Étape 3.3.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$66 x$

Étape 3.3.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 22 x^{2} + 66 x$

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$

Étape 3.3.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$

Étape 3.3.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Étape 3.3.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $84 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Étape 3.3.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							+	$84 x$	-	$252$

Étape 3.3.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $84 x - 252$

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$

Étape 3.3.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$
										$0$

Étape 3.3.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 22 x + 84$

Étape 3.3.1.6

Écrivez $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 3) (x^{2} - 22 x + 84)) = 0$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Étape 5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Définissez $x^{2} - 22 x + 84$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $x^{2} - 22 x + 84$ égal à $0$ .

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} - 22 x + 84 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 22$ et $c = 84$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 84)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.1

Élevez $- 22$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 84$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $84$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 336}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $336$ de $484$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $148$ comme $2^{2} \cdot 37$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $148$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = 11 \pm \sqrt{37}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$ vraie.

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Forme décimale :

$x = 3, 17.08276253 \dots, 4.91723746 \dots$